设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)，证明：其中E是r阶单位阵．

admin2017-07-10 31

问题设A是n阶矩阵，满足A²=A，且r(A)=r(0＜r≤n)，证明：

其中E是r阶单位阵．

选项

答案A²=A，A的特征值的取值为1，0，由A一A²=A(E一A)=O知 r(A)+r(E—A)≤n， r(A)+r(E—A)≥r(A+E一A)=r(E)=n，故r(A)+r(E一A)=n，r(A)=r，从而r(E一A)=n一r．对λ=1，(E—A)X=0，因r(E一A)=n—r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ₁，ξ₂，…，ξ_s；对λ=0，(0E一A)X=0，即AX=0，因r(A)=r，有n一r个线性无关特征向量，设为ξ_r+1，ξ_r+2，…，ξ_n．故存在可逆阵 P=[ξ₁，ξ₂，…，ξ_n]，使得 P^一1AP=[*]

解析

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考研数学二

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