2. 考研
  3. 已知A＝－E＋αβT，其中α＝，β＝，且αTβ＝3，证明A可逆并求A-1．

已知A＝－E＋αβT，其中α＝，β＝，且αTβ＝3，证明A可逆并求A-1．

admin2018-06-12  18
问题 已知A＝－E＋αβT，其中α＝，β＝，且αTβ＝3，证明A可逆并求A-1．
选项
答案记B＝αβT，则A＝－E＋B．而 [*] 由于r(B)＝1，αTβ＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝3，故 ｜λAE－B｜＝λ3－(a1b1＋a2b2＋a3b3)λ2＝λ3－3λ2． 所以矩阵B的特征值是3，0，0． 那么，矩阵A的特征值是2，－1，－1，故A可逆． 因为αTβ＝βTα＝3，有B2＝(αβT)(αβT)＝α(βTα)βT＝3B． 于是(A＋E)2＝3(A＋E)，即A2－A＝2E，亦即A.[*](A－E)＝E．所以 [*]
解析
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考研数学一

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