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设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)<1,证明:2x—∫0xf(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个实根.
设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)<1,证明:2x—∫0xf(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个实根.
admin
2020-03-16
27
问题
设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)<1,证明:2x—∫
0
x
f(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个实根.
选项
答案
令φ(x)=2x—∫
0
x
f(t)dt一1, φ(0)=一1,φ(1)=1一∫
0
1
f(t)dt, 由f(x)<1得∫
0
1
f(t)dt<1,从而φ(1)=1-∫
0
1
f(t)dt>0, 由零点定理,存在c∈(0,1),使得φ(C)=0,即方程2x一∫
0
x
f(t)dt=1至少有一个实根. 因为φ’(x)=2一f(x)>0,所以φ(x)在[0,1]上严格递增,故2x-∫
0
x
f(t)dt=1在(0,1) 内有且仅有一个实根.
解析
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0
考研数学二
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