如果数列{xn}收敛,{yn}发散,那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和{yn}都发散,那么{xnyn}的敛散性又将如何?

admin2018-09-20  43

问题 如果数列{xn}收敛,{yn}发散,那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和{yn}都发散,那么{xnyn}的敛散性又将如何?

选项

答案在题设两种情况下,{xnyn}的敛散性都不能确定.现在先就{xn}收敛,{yn}发散的情况来分析.利用[*](xn≠0)这个恒等式,就可得到下述结论:若{xn}收敛且不收敛于零,{yn}发散,则{xnyn}必发散.这是因为若{xnyn}收敛,且又{xn}收敛且极限不等于零,则从上述恒等式及极限相除法则,可知{yn}收敛,这与假设矛盾.若[*],且{yn}发散,则{xnyn}可能收敛,也可能发散,如: ①xn=[*]yn=n,则xnyn=1,于是{xnyn}收敛; ②xn=[*]yn=(一1)nn,则xnyn=(一1)n,于是{xnyn}发散. 现在再就{xn}和{yn}都发散的情况来分析{xnyn}的敛散性.有下面的结论:若{xn}和{yn}都发散,且两者至少有一个是无穷大,则{xnyn}必发散.这是因为如果{xnyn}收敛,而{xn}为无穷大,从等式[*]便得到{yn}收敛于零,这与假设矛盾. 若{xn}和{yn}都不是无穷大且都发散,则{xnyn}可能收敛,也可能发散,如: ③xn=yn=(-1)n,有xnyn=1,于是{xnyn}收敛; ④xn=(一1)n,yn=1一(-1)n,有xnyn=(一1)n一1,于是{xnyn}发散.

解析
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