设f’(x0)=f"(x0)=0,f"(x0)>0,则下列选项正确的是( ).

admin2019-06-11  12

问题 设f’(x0)=f"(x0)=0,f"(x0)>0,则下列选项正确的是(    ).

选项 A、f’(x0)是f’(x)的极大值
B、f(x0)是f(x)的极大值
C、f(x0)是f(x)的极小值
D、(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点

答案D

解析 需注意如果f"(x0)=0,则判定极值的第二充分条件失效.
如果记F(x)=f’(x),由题设条件有F’(x0)=0,F"(x0)>0.由极值的第二充分条件知F(x0)为F(x)的极小值,即f’(x0)为f’(x)的极小值,因此A不正确,排除A.
取f(x)=x3,则f’(x)=3x2,f"(x)=6x,f"’(x)=6.因此f’(0)=f"(0)=0,f"’(0)=6>0.而x=0既不为.f(x)=x3的极小值,也不为f(x)=x3的极大值,可知B,C都不正确,排除B,C.
由于f"’(x0)>0,知f"(x)在点x0处连续,又f"(x0)=0,由导数定义可以验证f"(x)在x0两侧异号,从而知点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点.故选D.
利用泰勒公式可以证明下述命题:
若f’(x0)=f"(x0)=…=f(n-1)(x0)=0,而f(n)(x0)≠0,则
(1)当n为偶数时,x0为f(x)的极值点,且
①当f(n)(x0)>0时,x0为f(x)的极小值点;
②当f(n)(x0)<0时,x0为f(x)的极大值点.
(2)当n为奇数时,x0不为f(x)的极值点.但点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点.
以后可以将上述结论作为定理使用.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/41QUFFFM
0

最新回复(0)