设函数f(x)在[0,+∞)内可导,f(0)=1,且f′(x)+f(x)-1/(x+1)∫0xf(t)dt=0. (1)求f′(x); (2)证明:当x≥0时,e-x≤f(x)≤1.

admin2022-08-19  36

问题 设函数f(x)在[0,+∞)内可导,f(0)=1,且f′(x)+f(x)-1/(x+1)∫0xf(t)dt=0.
(1)求f′(x);
(2)证明:当x≥0时,e-x≤f(x)≤1.

选项

答案(1)(x+1)f′(x)+(x+1)f(x)-∫0xf(t)dt=0两边求导数,得 (x+1)f″(x)=-(x+2)f′(x)[*]f′(x)=(Ce-x)/(x+1), 再由f(0)=1,f′(0)+f(0)=0,得f′(0)=-1,所以C=-1,于是f′(x)=-[e-x/(x+1)]. (2)当x≥0时,因为f′(x)<0且f(0)=1,所以f(x)≤f(0)=1. 令g(x)=f(x)-e-x,g(0)=0,g′(x)=f′(x)+e-x=[x/(x+1)]e-x≥0, [*]

解析
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