设函数f(x)满足xf’(x)-3f(x)=-6x2,且由曲线y=f(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小,试求D的面积。

admin2022-03-14  53

问题 设函数f(x)满足xf’(x)-3f(x)=-6x2,且由曲线y=f(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小,试求D的面积。

选项

答案一阶线性方程xy’-3y=-6x2可化为标准形式[*],通解是y=cx3+6x2,由曲线y=cx3+6x2,直线x=1与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积 V(c)=π∫01y2dx=π∫01(cx3+6x2)2dx =[*] 因为[*],可见V(c)在唯一驻点c=-7处取得极小值,也就是最小值,由此求得曲线y=f(x)=6x2-7x3,则对应的平面图形D的面积为 S=∫01|6x2-7x3|dx=[*] =[*]

解析
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