设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有三个不同的特征值，且α3=α1+2α2。证明：r(A)=2：

admin2022-08-12 46

问题设三阶矩阵A=(α₁，α₂，α₃)有三个不同的特征值，且α₃=α₁+2α₂。
证明：r(A)=2：

选项

答案设矩阵A的特征值为λ₁，λ₂，λ₃(λ₁≠λ₂≠λ₃)，则存在可逆矩阵P使得A=P^-1diag(λ₁，λ₂，λ₃)P，所以r(A)=r(diag(λ₁，λ₂，λ₃))，因为λ₁≠λ₂≠λ₃，所以r(diag(λ₁，λ₂，λ₃))≥2，即r(A)≥2，又α₃=α₁+2α₂，也就是α₁，α₂，α₃线性相关，所以r(A)＜3。因此r(A)=2。

解析

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