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  3. 设矩阵，B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

设矩阵，B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

admin2018-12-29  23
问题 设矩阵，B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。
选项
答案设A的特征值为λ，对应特征向量为η,则有Aη=λη。由于｜A｜=7≠0，所以λ≠0。 又因A*A=｜A｜E，故有A*η=[*]。于是有 B(P—1η)=P—1A*P(P—1η)=[*](P—1η)，(B+2E)P—1η=[*]P—1η。 因此，[*]为B+2E的特征值，对应的特征向量为P—1η。 由于 ｜λE—A｜=[*]=(λ—1)2(λ—7)， 故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7。 当λ1=λ2=1时，对应的线性无关的两个特征向量可取为η1=[*]。 当λ3=7时，对应的一个特征向量可取为η3=[*]。 [*] 因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3。 对应于特征值9的全部特征向量为k1P—1η1十k2P—1η2=[*]，其中k1，k2是不全为零的任意常数； 对应于特征值3的全部特征向量为 k3P—1η3=k3[*]，其中k3是不为零的任意常数。
解析
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考研数学一

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