2. 考研
  3. 设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且f”i(x0)＜0(i=1，2)．若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有(

设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且f”i(x0)＜0(i=1，2)．若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有(

admin2022-09-22  46
问题 设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且f”i(x0)＜0(i=1，2)．若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有(          )．
选项 A、f’x-f’y=0
B、f2(x)≤f1(x)≤g(x)
C、f1(x)≤g(x)≤f2(x)
D、f2(x)≤g(x)≤f1(x)
答案A
解析 本题考查曲线凹凸性和曲率的定义．
    设f(x)具有二阶连续导数，若在点(x0，y0)处，曲线f”(x0)＜0，则在x0的某邻域内，曲线f(x)是凸的．
    曲线的曲率表示曲线在某一切点处弯曲程度的数值．曲线的曲率越大，弯曲程度越大．
    由于fi”(x0)＜0(i=1，2)，且fi”(x0)连续，可知在x0的某邻域内，曲线f1(x)和f2(x)均是凸的．而y=f1(x)与y=f2(x)在(x0，y0)处有公切线y=g(x)，可知曲线f1(x)和f2(x)都在公切线g(x)下方，且f1(x)≤g(x)，f2(x)≤g(x)．
    又在点(x0，y0)处，曲线f1(x)的曲率大于曲线f2(x)的曲率，可知在该点的某邻域内，曲线f1(x)的弯曲程度大于曲线f2(x)的弯曲程度，则f1(x)≤f2(x)必成立．
    综上所述，f1(x)≤f2(x)≤g(x)．因此A项正确．
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考研数学二

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