2. 考研
  3. 证明： (1)若f在[a，b]上可导，且f’(x)≥m，则f(b)≥f(a)+m(b-a)； (2)若f在[a，b]上可导，且｜f’(x)｜≤M，则｜f(b)-f(a)｜≤M(b-a)； (3)对任意实数x1，x2都有｜sinx1-

证明： (1)若f在[a，b]上可导，且f’(x)≥m，则f(b)≥f(a)+m(b-a)； (2)若f在[a，b]上可导，且｜f’(x)｜≤M，则｜f(b)-f(a)｜≤M(b-a)； (3)对任意实数x1，x2都有｜sinx1-

admin2022-11-23  9
问题 证明：
    (1)若f在[a，b]上可导，且f’(x)≥m，则f(b)≥f(a)+m(b-a)；
    (2)若f在[a，b]上可导，且｜f’(x)｜≤M，则｜f(b)-f(a)｜≤M(b-a)；
    (3)对任意实数x1，x2都有｜sinx1-sinx2｜=｜x1-x2｜．
选项
答案(1)∵f(x)在[a，b]上满足拉格朗日定理的条件，∴至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=[*]，又f’(x)≥m．于是[*]≥m，即f(b)≥f(a)+m(b-a)． (2)∵f(x)在[a，b]上满足拉格朗日定理的条件，∴至少存在一点ξ∈(a，b)，使f’(ξ)=[*]，又因为｜f’(x)｜≤M，于是｜[*]｜≤M，即｜f(b)-f(a)｜≤M(b-a)． (3)当x1=x2时，结论显然成立；当x1≠x2时，不妨设x1＜x2，令f(x)=sinx，则f’(x)=cosx，从而｜f’(x)｜≤1，由(2)的结论知，｜sinx1-sinx2｜≤｜x1-x2｜．
解析
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考研数学一

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