设a1=1,当n≥1时,an+1=,证明:数列{an}收敛,并求其极限值.

admin2016-06-25  38

问题 设a1=1,当n≥1时,an+1=,证明:数列{an}收敛,并求其极限值.

选项

答案设f(x)=[*]<0,所以f(x)在[0,+∞)上单调减少. 由于a1=1,a2=[*],可知a1>a3>a2,而f(x)在[0,+∞)上单调减少,所以有f(a1)<f(a3)<f(a2),即a2<a4<a3,所以a1>a3>a4>a2,递推下去就可以得到 a1>a3>a5>…>a2n一1>…>a2n>…>a6>a4>a2. 由此可以肯定,给定数列的奇数项子数列{a2n一1}单调减少且有下界a2=[*],偶数项子数列{a2n}单调增加且有上界a1=1,所以他们都收敛.设他们的极限分别为正数P和Q,即 [*]=Q. 在an+1=f(an)两边同取n→∞时的极限,根据函数f(x)的连续性,有 [*]

解析
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