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[2003年] 设二次型 f(x2,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3 (b>0), 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. 求a,b的值;
[2003年] 设二次型 f(x2,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3 (b>0), 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. 求a,b的值;
admin
2019-06-25
38
问题
[2003年] 设二次型
f(x
2
,x
2
,x
3
)=X
T
AX=ax
1
2
+2x
2
2
-2x
3
2
+2bx
1
x
3
(b>0),
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
求a,b的值;
选项
答案
解一 二次型f的矩阵为[*]设A有特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
.由命题2.5.2.1得到 λ
1
+λ
2
+λ
3
=a+2+(-2)=1, [*] 解之得a=1,b=2(因b>0,故b=-2舍去). 解二 二次型厂的矩阵为[*]A的特征多项式为 [*] 设A的特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,则由上式得到λ
1
=2,λ
2
+λ
3
=a-2,λ
2
λ
3
=-(2a+b
2
). 又由题设有 λ
1
+λ
2
+λ
3
=2+a-2=a=1, λ
1
λ
2
λ
3
=-2(2a+b
2
)=-12. 解之得a=1,b=2(因b>0,故b=-2舍去). 注:命题2.5.2.1 设λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,为n阶矩阵A=[a
ij
]的n个特征值,则(1)λ
1
+λ
2
+…+λ
n
=a
11
+a
22
+…+a
nn
=tr(A);(2)λ
1
λ
2
…λ
n
=|A|.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/1xnRFFFM
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考研数学三
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