2. 考研
  3. 设A＝，又B为3阶非零矩阵，使得AB＝2B． (Ⅰ)求常数a； (Ⅱ)判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．

设A＝，又B为3阶非零矩阵，使得AB＝2B． (Ⅰ)求常数a； (Ⅱ)判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．

admin2021-03-16  28
问题 设A＝，又B为3阶非零矩阵，使得AB＝2B．
(Ⅰ)求常数a；
(Ⅱ)判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．
选项
答案(Ⅰ)由AB＝2B得(2E－A)B＝0，则r(2E－A)＋r(B)≤3， 因为B≠0，所以r(B)≥1，从而r(2E－A)≤2＜3，即｜2E－A｜＝0， 即λ＝2为矩阵A的特征值． 由｜2E－A｜＝[*]＝－(－a－4)＝0得a＝－4， 即[*] (Ⅱ)由｜λE－A｜＝[*]＝(λ＋3)(λ－1)(λ－2)＝0得 A的特征值为λ1＝－3，λ2＝1，λ3＝2； 因为矩阵A的特征值都是单根，所以矩阵A可以相似对角化． 当λ1＝－3时，由3E＋A＝[*]得 λ1＝－3对应的线性无关的特征向量为α1＝[*]： 当λ2＝1时，由E－A＝[*]得 λ2＝1对应的线性无关的特征向量为α2＝[*] 当λ3＝2时，由2E－A＝[*]得 λ3＝2对应的线性无关的特征向量为α3＝[*]， 令P＝[*]，则P－1AP＝[*]
解析
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考研数学二

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