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设f(x)在区间[0,1]上可微,且满足条件f(1)=2∫01/2xf(x)dx,试证:存在ξ∈(0,1),使f(ξ)+ξf’(ξ)=0.
设f(x)在区间[0,1]上可微,且满足条件f(1)=2∫01/2xf(x)dx,试证:存在ξ∈(0,1),使f(ξ)+ξf’(ξ)=0.
admin
2013-10-11
44
问题
设f(x)在区间[0,1]上可微,且满足条件f(1)=2∫
0
1/2
xf(x)dx,试证:存在ξ∈(0,1),使f(ξ)+ξf
’
(ξ)=0.
选项
答案
由结论可知,若令φ(x)=xf(x),则φ
’
(x)=f(x)+xf
’
(x). 因此,只需证明φ(x)在[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件. 令φ(x)=xf(x),由积分中值定理可知,存在[*] 于是φ(1)=f(1)=φ(η),并且φ(x)在[η,1]上连续,在(η,1)上可导, 故由罗尔定理可知,存在ξ∈(η,1)[*](0,1)使得φ
’
(ξ)=0,即f(ξ)+ξf
’
(ξ)=0.
解析
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考研数学三
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