设f(x)具有二阶导数,且f"(x)>0.又设u(t)在区间[0,a](或[a,0])上连续,试证明:

admin2015-08-14  48

问题 设f(x)具有二阶导数,且f"(x)>0.又设u(t)在区间[0,a](或[a,0])上连续,试证明:

选项

答案由条件f"(x)>0,想到将f(x)在某x0处展成拉格朗日余项泰勒公式,然后丢弃f"(ξ)得到一个不等式以处理之. 由泰勒公式 f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+[*]f"(ξ)(x—x0)2 ≥f(x0)+f’(x0)(x一x0),ξ介于x与x0之间. 以x=u(t)代入并两边对t从0到a积分,其中暂设a>0,于是有 ∫0af(u(t))dt≥af(x0)+f’(x0)(∫0au(t)dt-x0a). [*] 若a<0,则有 ∫0af(u(t))dt≤af(x0)+f’(x0)(∫0au(t)dt-x0a). [*]

解析
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