利用代换将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。

admin2018-12-19 22

问题利用代换

将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=e^x化简，并求出原方程的通解。

选项

答案由[*]，得 y’=u’secx+usecxtanx， y’’=u’’secx+2u’secxtanx+u(sectan²x+sec³x)，代入原方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=e^x，得 u’’+4u=e^x。 (*) 先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为λ²+4=0，则特征方程的根为λ=±2i。所以通解为[*]=C₁cos2x+C₂sin2x(C₁，C₂为任意常数)。再求非齐次方程的特解。设其特解为u^*(x)=Ae^x，代入(*)式，得 (Ae^x)^*+4Ae^x=Ae^x+4Ae^x=5Ae^x=e^x，解得A=[*]，因此u^*(x)=[*]e^x。故(*)的通解为 u(x)=C₁cos2x+C₂sin2x+[*]e^x(C₁，C₂为任意常数)。所以，原微分方程的通解为 [*]

解析

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考研数学二

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