设λ为可逆方阵A的特征值,且χ为对应的特征向量,证明:(1)λ≠0;(2)为A-1的特征值,且χ为对应的特征向量;(3)为A*的特征值,且χ为对应的特征向量.

admin2019-07-22  39

问题 设λ为可逆方阵A的特征值,且χ为对应的特征向量,证明:(1)λ≠0;(2)为A-1的特征值,且χ为对应的特征向量;(3)为A*的特征值,且χ为对应的特征向量.

选项

答案若λ=0,则有|0E-A|=0,即(-1)n|A|=0,[*]|A|=0,这与A可逆矛盾,故必有λ≠0;由Aχ=λχ两端右乘A-1,得λA-1χ=χ,两端同乘[*],得A-1χ=[*]χ,故[*]为A-1的一个特征值,且χ为对应的特征向量;因A-1=|A|A* 代入A-1χ=[*]χ,得A*χ=[*],故[*]为A*的一个特征值,且χ为对应的特征向量.

解析
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