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设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．
设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．
admin
2017-04-24
35
问题
设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．
选项
答案
令φ(x)=f(x) 一 g(x)，以下分两种情况讨论： 1)若f(x)和g(x)在(a，b)内的同一点处c∈(a，b)取到其最大值，则φ(c)=f(c) 一 g(c)=0，又φ(a) =φ(b)=0，由罗尔定理知 [*]ξ
1
∈(a，c)，使φ’(ξ
1
)=0；[*]ξ
2
∈(c，b)，使φ’(ξ
2
)=0 对φ’(x)在[ξ
1
，ξ
2
]上用罗尔定理得，[*]ξ
1
∈(ξ
1
，ξ
2
)，使φ"(ξ)=0 2)若f(x)和g(x)在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设f(x)和g(x)分别在x
1
和x
2
(x
1
＜x
2
)取到其在(a，b)内的最大值，则 φ(x
1
)=f(x
1
) 一 g(x
1
)＞0， φ(x
2
)=f(x
2
) 一 g(x
2
)＜0 由连续函数的介值定理知，[*]c∈(x
1
，x
2
)，使φ(c)=0．以下证明与1)相同．
解析
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考研数学二
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