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  3. 已知f(x)的定义域为(0，+∞)，且满足xf(x)=1+∫0xu2f(u)du． 求f(x);

已知f(x)的定义域为(0，+∞)，且满足xf(x)=1+∫0xu2f(u)du． 求f(x);

admin2023-01-04  13
问题 已知f(x)的定义域为(0，+∞)，且满足xf(x)=1+∫0xu2f(u)du．
求f(x);
选项
答案已知等式两边同时对x求导，得xf’(x)+f(x)=x2f(x)，即 f’(x)+([*]-x)f(x)=0． 解一阶线性微分方程，得f(x)=[*]．令x=1，则f(1)=Ce1／2．又 f(1)=1+∫01u2f(u)du=1+∫01u2·[*]du=1+C(e1／2-1)， Ce1／2=1+Ce1／2-C，解得C=1．所求f(x)=[*](x＞0)．
解析
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考研数学一

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