(07年)设线性方程组与方程(Ⅱ):χ1+2χ2+χ3=a-1有公共解,求a的值及所有公共解.

admin2021-01-25  41

问题 (07年)设线性方程组与方程(Ⅱ):χ1+2χ2+χ3=a-1有公共解,求a的值及所有公共解.

选项

答案方程组(Ⅰ)的系数矩阵A的行列式为 [*] (1)当|A|≠0,即a≠1且a≠2时,方程组(Ⅰ)只有零解,而零解χ=(0,0,0)T不满足方程(Ⅱ),故当a≠1且a≠2时,(Ⅰ)与(Ⅱ)无公共解; (2)当a=1时,由A的初等行变换 [*] 得方程组(Ⅰ)的通解为χ=c(1,0,-1)T,其中c为任意常数.显然当a=1时,(Ⅱ)是(Ⅰ)的一个方程,(Ⅰ)的解都满足(Ⅱ).所以,当a=1时,(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解是χ=c(1,0,-1)T,其中c为任意常数; (3)当a=2时,由A的初等行变换 [*] 得(Ⅰ)的通解为χ=k(0,1,-1)T,要使它是(Ⅱ)的解,将其代入方程(Ⅱ),得k=1,故当a=2时,(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为χ=(0,1,-1)T

解析
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