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  3. 求微分方程y"一3y’一4y=(10x一7)e一x+34sinx的通解．

求微分方程y"一3y’一4y=(10x一7)e一x+34sinx的通解．

admin2016-12-16  32
问题 求微分方程y"一3y’一4y=(10x一7)e一x+34sinx的通解．
选项
答案设y1*(x)与y2*(x)分别是方程 y"+p(x)y’+q(x)y=f1(x)与y"+p(x) y’+q(x)y=f2(x) 的特解，则 y*(x)=y1*(x)+y2*(x) 是方程 y"+p(x) y’+q(x) y=f1(x)+f2(x)的特解． 解齐次方程y"一3y’一4y=0的特征方程为 λ2一3λ一4=0， 由此求得特征根λ1=4，λ2=一1．对应齐次方程的通解为 y=C1e4x+Ce一x． 则f1(x)=(10x一7)e一x的特解形式为 y1*=x(A+Bx)e一x=(Ax+Bx2)e一x ，f2(x)=34sinx的特解形式为 y2=Csinx+Dcosx． 于是由叠加原理知，非齐次方程的特解为 y*=y1*+y2*=(Ax+Bx2)e一x+Csinx+Dcosx， 则 (y*)’=(A+2Bx一Ax一Bx2)e一x+Ccosx一Dsinx， (y*)"=(2B一2A一4Bx+Ax+Bx2)e一x一Ccosx一Dsinx， 代入原方程，求得A=1，B=一1，C=一5，D=3，从而 y*=x(1一x)e一x一5sinx+3cosx． 于是原方程的通解为 y=Y+y*=C1A4x+(C2+x一x2)e一x一5 sinx+3cosx．
解析 利用二阶非齐次线性方程解的叠加原理求之．
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考研数学三

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