设A是n阶矩阵，α1,α2……αn是n维列向量，其中αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0．证明α1,α2……αn线性无关；

admin2016-12-09 0

问题设A是n阶矩阵，α₁,α₂……α_n是n维列向量，其中α_n≠0，若Aα₁=α₂，Aα₂=α₃，…，Aα_n-1=α_n，Aα_n=0．
证明α₁,α₂……α_n线性无关；

选项

答案令k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=0． ① 由题设 Aα₁=α₂，Aα₂=α₃，…，Aα_n-1=α_n，有 Aⁿα₁=A^n-1α₂一…一Aα_n=0．将A^n-1左乘式①，得k₁α_n=0．由于α_n≠0，故k₁=0．再依次用A^n-2，A^n-3，…乘式①，可得 k₂=K₃=…=k₃=0，所以α₁,α₂……α_n线性无关．

解析

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考研数学二

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