设A为n阶实对称矩阵，AB+BTA是正定矩阵，证明A是可逆矩阵．

admin2016-11-03 15

问题设A为n阶实对称矩阵，AB+B^TA是正定矩阵，证明A是可逆矩阵．

选项

答案由正定矩阵的定义知，对任意X≠0，有 X^T(AB+B^TA)X=X^TABX+X^TB^TAX+X^TA^TBX+(BX)^TAX =(AX)^T(BX)+(BX)^T(AX)＞0．因而对任意X≠0有AX≠0，即齐次线性方程组Ax=0只有零解，故r(A)=n，即A为可逆矩阵．

解析由题设知，对任意X≠0，有X^T(AB+B^TA)X＞0．由此可推得对任意X≠0，有AX≠0，从而A可逆．

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