设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2022-11-28 24

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

若α，β正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案∵Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α丨α丨²+ββ^Tα=2α，　∴α为A的对应于λ₁=2的特征向量，　又Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2αα^T·β+β·丨β丨²=β，　β为A的对应于λ₂=1的特征向量．　∵r(A)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)=r(α)+r(β)=2＜3，　∴λ₃=0是矩阵A的特征值，　故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学三

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