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  3. （2009年真题）若矩阵，A是B的相似矩阵，则矩阵A+E(E是单位矩阵)的秩是[ ]。

（2009年真题）若矩阵，A是B的相似矩阵，则矩阵A+E(E是单位矩阵)的秩是[ ]。

admin2015-04-14  51
问题 （2009年真题）若矩阵，A是B的相似矩阵，则矩阵A+E(E是单位矩阵)的秩是[     ]。
选项 A、0
B、1
C、2
D、3
答案B
解析 本题考查了矩阵特征值的求法、相似矩阵的概念及相似矩阵的性质。
解法1
令

得矩阵B的特征值为
λ1=λ2=-1，λ3=1。
因A是B的相似矩阵，所以A的特征值也是λ1=λ2=-1，λ3=1。
，
r(B-λ1E)-1，因此λ1=λ2=-1对应于两个线性无关的特征向量，所以B可对角化，进而A也可对角化，从而可设

这时r(A+E)=1。故正确选项为B。
解法2
由于A是B的相似矩阵，所以存在可逆矩阵P，使得
A=P-1BP，于是A+E=P-1BP+E=P-1BP+P-1P=P-1(B+E)P。
从而r(A+E)=r(P-1(B+E)P)=r(B+E)。又

显然r(B+E)=1，故r(A+E)=1。
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