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  3. 非齐次线性方程组AX=b中未知数个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则( )

非齐次线性方程组AX=b中未知数个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则( )

admin2019-05-15  25
问题 非齐次线性方程组AX=b中未知数个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则(    )
选项 A、r=m时，方程组AX=b有解．
B、r=n时，方程组AX=b有唯一解．
C、m=n时，方程组AX=b有唯一解．
D、r＜n时，方程组AX=b有无穷多解．
答案A
解析 因A是m×n矩阵，若R(A)=m，增广矩阵(A，b)也只有m行，则
    m=R(A)≤R(A，b)≤m，
有R(A)=R(A，b)，故AX=b有解．应选A；
    或由R(A)=m知A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(A，b)的m个行向量也是线性无关的，亦即R(A)=R(A，b)；
    关于B、D不正确的原因是：由r≤n不能推出R(A)=R(A，b)(注意：A是m×n矩阵，m可能大于n)，AX=b不一定有解．故B、D不成立．
    至于C，当m=n时，AX=b可能无解，还可能有无穷多解(只有当r=m=n时，AX=b才有唯一解)，故C不成立．
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考研数学一

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