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  3. 要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材料，已知下底面材料每平方厘米的价格为3元，侧面材料每平方厘米的价格为1元，问该容积的底面半径r与高h各为多少时，造这个容器所用的材料费用最少?

要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材料，已知下底面材料每平方厘米的价格为3元，侧面材料每平方厘米的价格为1元，问该容积的底面半径r与高h各为多少时，造这个容器所用的材料费用最少?

admin2015-06-14  29
问题 要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材料，已知下底面材料每平方厘米的价格为3元，侧面材料每平方厘米的价格为1元，问该容积的底面半径r与高h各为多少时，造这个容器所用的材料费用最少?
选项
答案设S为材料费用函数，则S=2πrh+兀r2+3πr2， 且满足条件πr2h=32π， [*] 令S’(r)=0，得驻点r=2。 因S"(2)=24π＞0，且驻点唯一，所以r=2为S(r)的最小值点，此时 [*] 所以r=2厘米，h=8厘米时，材料费用最省。
解析 本题为利用导数求最值问题。
求最大值与最小值的一般方法是：
(1)求出f(x)在(a，b)内的所有(可能的极值点)驻点、导数不存在的点：x1，…xk。
(2)求出上述各点及区间两个端点x=a，x=b处的函数值：f(x1)，…，f(xk)，f(a)，f(b)进行比较，其中最大的数即为y=f(x)在[a，b]上的最大值，相应的z的取值即为f(z)在[a，b]上的最大值点，而其中最小的数值即为f(x)在[a，b]上的最小值，相应的x的取值即为f(x)在[a，b]上的最小值点。
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