设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f"(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：｜f’(x)｜≤1/2(x∈[0，1])．

admin2022-10-09 23

问题设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f"(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：｜f’(x)｜≤1/2(x∈[0，1])．

选项

答案由泰勒公式得f(0)=f(x)-f’(x)x+1/2f"(ξ₁)x²，ξ₁∈(0，x)，f(1)=f(x)+f’(x)(1-x)+1/2f"(ξ₂)(1-x)²，ξ₂∈(x，1)，两式相减，得f’(x)=1/2f"(ξ₁)x²-1/2f"(ξ₂)(1-x)²．两边取绝对值，再由｜f"(x)｜≤1，得｜f’(x)｜≤1/2[x²+(1-x)²]=(x-1/2)²+1/4≤1/2．

解析

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考研数学三

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