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已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3一2A2，则r（B）=（ ）
已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3一2A2，则r（B）=（ ）
admin
2017-12-29
25
问题
已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A
3
一2A
2
，则r（B）=（ ）
选项
A、1
B、2
C、3
D、不能确定
答案
A
解析
因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得
P
—1
AP=
于是
P
—1
BP=P
—1
（A
3
一2A
2
）P=P
—1
A
3
P一2P
—1
A
2
P=（P
—1
AP）
3
一2（P
—1
AP）
2
则矩阵B的三个特征值分别为0，0，一1，故r（B）=1。所以选A。
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考研数学三
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