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若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导数，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，其中a＜x1＜x2＜x3＜b，证明：在(x1，x3)内至少有一点ε，使得f〞(ε)＝0．
若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导数，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，其中a＜x1＜x2＜x3＜b，证明：在(x1，x3)内至少有一点ε，使得f〞(ε)＝0．
admin
2011-11-19
115
问题
若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导数，且f(x
1
)＝f(x
2
)＝f(x
3
)，其中a＜x
1
＜x
2
＜x
3
＜b，证明：在(x
1
，x
3
)内至少有一点ε，使得f〞(ε)＝0．
选项
答案
证： 因为f(x)在(a，b)内具有二阶导数，a＜x
1
＜x
2
＜b，故f(x)在[x
1
，x
2
]上连续，在(x
1
，x
2
)内可导，又f(x
1
)＝f(x
2
)，故由罗尔定理知存在ε
1
∈(x
1
，x
2
)，使fˊ(ε
1
)＝0，同理存在ε
2
∈(x
2
，x
3
)使fˊ(ε
2
)＝0，故在区间[ε
1
，ε
2
]∈[a，b)内考虑fˊ(x)，则对fˊ(x)在[ε
1
，ε
2
]上应用罗尔定理，存在ε∈(ε
1
，ε
2
)∈(x
1
，x
3
)，使f〞(ε)＝0．
解析
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考研数学三
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