已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，且AA1=2AB，则CD与半面BDC1所成角的正弦值等于( )．

admin2019-12-10 58

问题已知长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，且AA₁=2AB，则CD与半面BDC₁所成角的正弦值等于( )．

选项 A、2/3
B、

/3
C、

/3
D、1/3

答案A

解析如图所示，连接底面正方形对角线AC、BD，其交点为O，连接OC₁，BC₁，DC₁，作CH⊥OC₁于H，连接HD因为O是底面的中点，所以CO⊥BD，又因为CC₁⊥底面ABCD，故CC₁⊥BD，而CC₁∩OC=C，则BD⊥面OCC₁，所以CH⊥BD
又因为CH⊥OC₁，OC₁∩CH=H，OC₁∩BD=O，所以CH⊥面BDC₁，故∠CHD=90°，且∠CDH就是CD与面BDC₁的夹角．设AB=BC=CD=1，则AA₁=2，

，△OCC₁的面积一定，故

，sin∠CDH=CH/CD=2/3，所以CD与面BDC₁所成角的正弦值为2/3．

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