[2001年] 设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=[aij]n×n中元素aij(i,j=1,2,…,n)的代数余子式,二次型 记X=[x1,x2,…,xn]T,把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并证明二

admin2019-06-25  50

问题 [2001年]  设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=[aij]n×n中元素aij(i,j=1,2,…,n)的代数余子式,二次型
            
记X=[x1,x2,…,xn]T,把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并证明二次型f(X)的矩阵为A-1

选项

答案将二次型f(x1,x2,…,xn)改写成矩阵乘积形式,即 [*] 因A为对称矩阵,则Aij=Aji(i,j=1,2,…,n),故 [*] 因秩(A)=n,故A可逆,且A-1=A*/|A|,则f(X)的矩阵乘积形式为f(X)=XTA-1X. 如能证A-1也为对称矩阵,则f(X)的矩阵为A-1.事实上,因A对称,即AT=A,有 (A-1)T=(AT)-1=A-1

解析
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