2. 考研
  3. 设A是n阶实对称矩阵，且A2=0，证明A=0．

设A是n阶实对称矩阵，且A2=0，证明A=0．

admin2016-10-20  15
问题 设A是n阶实对称矩阵，且A2=0，证明A=0．
选项
答案(1)因为AT=A，A2=0，即AAT=0，而 [*] n，A的元素全是0，所以A=0． (2)由ATA=A2=0，那么对任一个n维列向量α，有 αTATAα=0，即(Aα)T(Aα)=0，亦即｜｜Aa｜｜=0． 可见Aα是零向量，即Aα=0．也就是任一个n维向量口都是齐次方程组Ax=0的解，因而Ax=0有n个线性无关的解，于是n≤n-r(A)，即r(A)≤0．又因r(A)≥0，所以r(A)=0，即A=0． (3)因为A是实对称矩阵，A必可对角化．设P-1AP=A，则A=PAP-1，由此可得A2=PA2P-1．由于A2=0，故A2=0，由此可得A=0．所以，A=PAP-1=0．
解析
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考研数学三

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