已知R3的两组基α1=(1,0,-1)T,α2=(2,1,1)T,α3=(1,1,1)T与β1=(0,1,1)T,β2(-1,1,0)T,β3(1,2,1)T (1)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵; (2)求γ=(9,

admin2015-08-13  36

问题 已知R3的两组基α1=(1,0,-1)T,α2=(2,1,1)T,α3=(1,1,1)T与β1=(0,1,1)T,β2(-1,1,0)T,β3(1,2,1)T
    (1)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵;
    (2)求γ=(9,6,5)T在这两组基下的坐标;
    (3)求向量δ,使它在这两组基下有相同的坐标。

选项

答案(1)设从基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵是C,则(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C,则C=(α1,α2,α3)-11,β2,β3)=[*] (2)设γ在基β1,β2,β3下的坐标是(y1,y2,y3)T,即y1β1+y2β2+y3β3=γ,亦即 [*]解得:y1=0,y2=-4,y3=5 设γ在基α1,α2,α3下的坐标是(x1,x2,x3)T,按坐标变换公式X=CY,有[*],可见γ在这两组基下的坐标分别是(1,2,4)T和(0,-4,5)T (3)设δ=x1a1+x2a2+x3a3=x1β1+x2β2+x3β3,即x111)+x122)+x333)=0 [*]得x1=x2=x3=0 所以,仅有零向量在这两组基下有相同的坐标。

解析
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