设φ(x)在[a,b]上连续,且φ(x)>0,则函数y=∫abf(t)dt|x-t|φ(t)dt的图形在(a,b)内 ( )

admin2015-07-22  75

问题 设φ(x)在[a,b]上连续,且φ(x)>0,则函数y=∫abf(t)dt|x-t|φ(t)dt的图形在(a,b)内 (     )

选项 A、为凸
B、为凹
C、有拐点
D、有间断点

答案B

解析 先将Ф(x)利用|x—t|的分段性分解变形,有
  Ф(x)=∫ax(x一t)φ(t)dt+∫xb(t一x)φ(t)dt=x∫axφ(t)dt—∫axtφ(t)dt+∫xb tφ(t)dt一x∫xb φ(t)dt.
    因为φ(t)在[a,b]上连续,所以Ф(x)可导,因而答案不可能是(D).为讨论其余三个选项,只需求出Ф"(x),讨论Ф"(x)在(a,b)内的符号即可.因
    Ф’(x)=∫axφ(t)dt一∫xbφ(x)dt,
    Ф"(x)=2φ(x)>0,x∈[a,b],故y=Ф(x)的图形为凹,应选(B).
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