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  3. 设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫0xf(t)f’(2a－t)dt，证明： F(2a)－2F(a)=f2(a)－f(0)f(2a)．

设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫0xf(t)f’(2a－t)dt，证明： F(2a)－2F(a)=f2(a)－f(0)f(2a)．

admin2018-09-25  30
问题 设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫0xf(t)f’(2a－t)dt，证明：
F(2a)－2F(a)=f2(a)－f(0)f(2a)．
选项
答案F(2a)－2F(a)=∫02af(t)f’(2a－t)dt－2∫0af(t)f’(2a－t)dt =∫a2af(t)f’(2a－t)dt－∫0af(t)f’(2a－t)dt， 其中∫a2af(t)f’(2a－t)dt=f2(a)－f(0)f(2a)+∫a2af(2a－x)f’(t)dt，所以 原式=f2(a)－f(0)f(2a)+∫a2af(2a－t)f’(t)dt－∫0af(t)f’(2a－t)dt， 又∫a2af(2a－t)f’(t)dt[*]∫0af(u)f’(2a－u)du=∫0af(t)f’(2a－t)dt，所以 F(2a)－2F(a)=f2(a)－f(0)f(2a)．
解析
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考研数学一

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