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过位于第一象限的曲线y=f(x)上任一点P(x,y)的切线在x轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数,且曲线经过点(1,0),求该曲线.
过位于第一象限的曲线y=f(x)上任一点P(x,y)的切线在x轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数,且曲线经过点(1,0),求该曲线.
admin
2022-11-02
38
问题
过位于第一象限的曲线y=f(x)上任一点P(x,y)的切线在x轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数,且曲线经过点(1,0),求该曲线.
选项
答案
切线为y-y=y’(X-x),令y=0得X=x-y/y’;法线为Y-y=-1/y’(X-x),令X=0得Y=y+x/y’,由题意得x-y/y’=-y-x/y’,解得dy/dx=(y/x-1)/(y/x+1),令u=y/x,代入得u+xdu/dx=(u-1)/(u+1),变量分离得-(u+1)/(1+u
2
)du=dx/x,积分得-1/2ln(1+u
2
)-arctanu=lnx+C,当x=1时,u=0,得C=0,所以,所求曲线为-1/2ln(1+y
2
/x
2
)-arctany/x-lnx.即1/2ln(x
2
+y
2
)+arctany/x=0.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/rm2iFFFM
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考研数学三
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