定义:一般地,对于定义在区间D的函数y=f(x),①若存在x0∈D,使得f(x0)=x0,则称x0是函数y=f(x)的一阶不动点,简称不动点;②若存在x0∈D,使f(f(x0))=x0,则称x0是函数y=f(x)的二阶不动点,简称稳定点。 f(x)单调递

admin2022-08-12  18

问题 定义:一般地,对于定义在区间D的函数y=f(x),①若存在x0∈D,使得f(x0)=x0,则称x0是函数y=f(x)的一阶不动点,简称不动点;②若存在x0∈D,使f(f(x0))=x0,则称x0是函数y=f(x)的二阶不动点,简称稳定点。
f(x)单调递增时,是否有N=M?证明你的结论。

选项

答案f(x)单调递增时,N=M。 任取x0∈N,有f(f(x0))=x0,设f(x0)=y0,则有f(y0)=x0。即(x0,y0)和(y0,x0)都在函数y=f(x)的图像上。假设x0>y0,因为y=f(x)是增函数,则f(x0)>f(y0),即y0>x0,与假设矛盾;假设x0<y0,因为y=f(x)是增函数,则f(x0)<f(y0),即y0<x0,与假设矛盾。故x0=y0,即有f(x0)=x0。所以x0∈M。 综上,f(x)单调递增时,有N=M。

解析
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