2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，且AB＝A＋B，则下列命题中． ①若A可逆，则B可逆； ②若A＋B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A＋B可逆； ④A－E恒可逆． 正确的有( )个．

设A，B均为n阶矩阵，且AB＝A＋B，则下列命题中． ①若A可逆，则B可逆； ②若A＋B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A＋B可逆； ④A－E恒可逆． 正确的有( )个．

admin2019-08-27  18
问题 设A，B均为n阶矩阵，且AB＝A＋B，则下列命题中．
①若A可逆，则B可逆；    ②若A＋B可逆，则B可逆；
③若B可逆，则A＋B可逆；    ④A－E恒可逆．
正确的有(    )个．
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案D
解析 【思路探索】命题①、②、③是借助行列式来判别，而④是利用定义来判别．
由于(A－E)B＝AB－B＝A＋B－B＝A，若A可逆，则B可逆，即①正确．
若A＋B可逆，则｜AB｜｜A＋B｜≠0，则｜B｜≠0，即B可逆，②正确．
由于A(B－E)＝B，｜A｜｜B－E｜＝｜B｜，若B可逆，则｜A｜≠0，即A可逆，从而A＋B＝AB可逆，③正确．
对于④，由AB＝A＋B，可得(A－E)(B－E)＝E，故A－E恒可逆．
故应选(D)．
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考研数学一

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