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设有向量组(Ⅰ):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,一1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T。 试问:当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,
设有向量组(Ⅰ):α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,一1,a+2)T和向量组(Ⅱ):β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T。 试问:当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,
admin
2015-09-14
31
问题
设有向量组(Ⅰ):α
1
=(1,0,2)
T
,α
2
=(1,1,3)
T
,α
3
=(1,一1,a+2)
T
和向量组(Ⅱ):β
1
=(1,2,a+3)
T
,β
2
=(2,1,a+6)
T
,β
3
=(2,1,a+4)
T
。
试问:当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案
由于行列式|α
1
,α
2
,α
3
|=a+1,故当a≠一1时,方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
i
(1,2,3)均有解(且有唯一解),即向量组(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示;又因行列式|β
1
β
2
β
3
|=6≠0,同理可知向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示。所以,当a≠一1时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。当a=一1时,由于秩[α
1
,α
2
,α
3
]≠秩[α
1
,α
2
,α
3
|β
1
],故方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
1
无解,即向量β
1
不能由向量组(Ⅰ)线性表示,所以此时向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价。
解析
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考研数学三
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