2. 专升本
  3. 已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y′+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y″+3y′+2y=f(x)的通解．

已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y′+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y″+3y′+2y=f(x)的通解．

admin2016-03-02  29
问题 已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y′+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y″+3y′+2y=f(x)的通解．
选项
答案据题意得，y′=ex+(x+1)ex=(x+2)ex f(x)=y′+2y=(x+2)ex+2(x+1)ex=(3x+4)ex 则下面求微分方程y″+3y′+2y=(3x+4)ex的通解 特征方程为r2+3r+2=0，求得r1=－1，r2=－2 所以y″+3y′+2y=0的通解为y=C1e－x+C2e－2x，其中C1，C2为任意常数 因λ=1不是特征方程的根，所以设y*=(Ax+B)ex为原方程 y″+3y′+2y=(3x+4)ex的一个特解，则把(y*)′=(Ax+A+B)ex， (y*)″=(Ax+2A+B)ex代入原方程，并比较系数得A=[*]，B=[*] 所以微分方程y″+3y′+2y=(3x+4)ex的通解为 y=C1e－x+C2e－2x+[*]ex，其中C1，C2为任意常数．
解析
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