(2001年试题,七)设y=f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数且f’’(x)≠0,试证: 对(一1,1)内的任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立;

admin2013-12-27  31

问题 (2001年试题,七)设y=f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数且f’’(x)≠0,试证:
对(一1,1)内的任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf(θ(x)x)成立;

选项

答案由题设,应用拉格朗日中值定理,有f(x)=f(0)+xf(θ(x)x),0<θ(x)<1且x∈(一1,1).已知f’’(x)在(一1,1)内连续且f’’(x)≠0,因此f’’(x)>0或f’’(x)<0,相应地有f(x)在(一1,1)内严格单调递增或严格单调递减,从而保证了θ(x)的唯一性.

解析
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