已知椭圆(a＞b＞0)离心率是，若左焦点到直线距离为4。过点P(0，3)的直线与椭圆交于不同两点M，N(M在P和N之间)，记，求λ的取值范围。

admin2015-12-09 17

问题已知椭圆

(a＞b＞0)离心率是

，若左焦点到直线

距离为4。
过点P(0，3)的直线与椭圆交于不同两点M，N(M在P和N之间)，记

，求λ的取值范围。

选项

答案设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，若直线PM斜率不存在，则有M(0，2)，N(0，-2)，此时[*]。若直线PM斜率存在，设为k，不妨设k＞0，则直线PM的方程为y=kx+3，联立方程组[*] 得(4+9k²)x²+54kx+45=0，△=1296k²-720，x=_1，2=[*]，由假设k＞0得， [*] 分析上式知λ随k的增大而减小。当直线PM与椭圆相切时，M，N重合，λ达到最大值，λ_max=1，但根据题意，直线与椭圆交于不同两点M，N，所以这个最大值取不到。当直线斜率不存在时，λ有最小值，λ_min=[*]。综上所述λ的范围是[*]。

解析

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已知椭圆(a＞b＞0)离心率是，若左焦点到直线距离为4。过点P(0，3)的直线与椭圆交于不同两点M，N(M在P和N之间)，记，求λ的取值范围。

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