2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上二阶可导，|f’’(x)|≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明： |f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a)．

设f(x)在[a，b]上二阶可导，|f’’(x)|≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明： |f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a)．

admin2022-10-27  5
问题 设f(x)在[a，b]上二阶可导，|f’’(x)|≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明：
|f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a)．
选项
答案由题意，存在c∈(a，b)，使得f(c)为最小值，从而f’(c)=0， 由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得 f’(c)-f’(a)=f’’(ξ1)(c-a)， f’(b)-f’(c)=f’’(ξ2)(b-c)， 于是|f’(a)|=|f’’(ξ1)|(c-a)≤M(c-a)， |f’(b)|=|f’’(ξ2)|(b-c)≤M(b-c)， 故|f’(a)|+|f’(b)|≤M(b-a)．
解析
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考研数学一

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