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求I=,其中∑为上半球z=的上侧,a>0为常数.
求I=,其中∑为上半球z=的上侧,a>0为常数.
admin
2016-10-26
26
问题
求I=
,其中∑为上半球z=
的上侧,a>0为常数.
选项
答案
添加一块有向曲面S:z=0 (x
2
+y
2
≤a
2
),法向量朝下,S与∑所围区域为Ω(见图10.8),则由高斯公式得 [*] [*] (这里Ω边界取外法向,S在xy平面上投影区域D:x
2
+y
2
≤a
2
=0,S与yz平面,zx平面均垂直,[*]Qdzdx=0). 因 [*] 所以 I=[*]πa
4
.
解析
首先(x,y,z)∈∑,x
2
+y
2
+z
2
=a
2
,被积函数简化为
于是 I=
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy.
直接化第二类曲面积分为二重积分,再化为定积分的公式稍微复杂些.这里
相对于半球域来说较简单,若用高斯公式求曲面积分,则较为简单.因为∑不是封闭曲面,所以要添加辅助曲面.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/n8wRFFFM
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考研数学一
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