数列{an}(n∈N*)中，a1=a，an+1是函数f(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。是否存在a，使数列{an}是等比数列?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

admin2016-01-20 15

问题数列{a_n}(n∈N^*)中，a₁=a，a_n+1是函数f(x)=

(3a_n+n²)x²+3n²a_nx的极小值点。
是否存在a，使数列{a_n}是等比数列?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

选项

答案存在a，使数列{a_n}是等比数列。事实上，由②知，若对任意的n，都有3a_n＞n²，则a_n+1=3a_n，即数列{a_n}是首项为a，公比为3的等比数列，且a_n=a3^n-1。而要使3a_n＞n²，即a．3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立，只需a＞[*]对一切n∈N^*都成立。 [*] 当[*]时，可得a₁=a，a₂=3a，a₃=4，a₄=12，…，数列{a_n}不是等比数列。当a=[*]时，3a=1=1²，由③知，f₁(x)无极值，不合题意。当a＜[*]时，可得a₁=a，a₂=1，a₃=4，a₄=12，…数列{a_n}不是等比数列。综上所述，存在a使数列{a_n}是等比数列，且a的取值范围为([*]，+∞)。

解析

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数列{an}(n∈N*)中，a1=a，an+1是函数f(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。是否存在a，使数列{an}是等比数列?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

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