设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足 ∫axf(x)dt≥∫axg(x)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。

admin2018-01-30 40

问题设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足
∫_a^xf(x)dt≥∫_a^xg(x)dt，x∈[a，b)，∫_a^bf(t)dt=∫_a^bg(t)dt。
证明：∫_a^bxf(x)dx≤∫_a^bxg(x)dx。

选项

答案令F(x)=fx)—g(x)，G(x)=∫_a^xF(t)dt，由题设G(x)≥10，x∈[a，b]，G(a)=G(b)=0，G’(x) =F(x)，从而， ∫_a^bxF(x)dx=∫_a^bxdG(x)=xG(x)｜_a^b—∫_a^bG(x)dx=—∫_a^bG(x)dx，由于G(x)≥0，x∈[a，b]，故有一∫_a^bG(x)dx≤0，即∫_a^bxF(x)dx≤0。因此 ∫_a^bxf(x)dx≤∫_a^bxg(x)dx。

解析本题考查微积分的基本原理以及定积分的性质。

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