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已知y1*(x)=xe-x+e-2x,y2*(x)=xe-x+xe-2x,y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+qy=f(x)的三个解,则这个方程是______.
已知y1*(x)=xe-x+e-2x,y2*(x)=xe-x+xe-2x,y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+qy=f(x)的三个解,则这个方程是______.
admin
2017-11-23
22
问题
已知y
1
*
(x)=xe
-x
+e
-2x
,y
2
*
(x)=xe
-x
+xe
-2x
,y
3
*
(x)=xe
-x
+e
-2x
+xe
-2x
是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+qy=f(x)的三个解,则这个方程是______.
选项
答案
y’’+4y’+4y=(x+2)e
-x
.
解析
(Ⅰ)由线性方程解的叠加原理=>
y
1
(x)=y
3
*
(x)一y
2
*
(x)=e
-2x
,y
2
(x)=y
3
*
(x)一y
1
*
(x) =xe
-2x
均是相应的齐次方程的解,它们是线性无关的.于是该齐次方程的特征根是二重特征根λ=
一2,相应的特征方程为
(λ+2)
2
=0,即λ
2
+4λ+4=0.
原方程为 y’’+4y’+4y=f(x). (*)
又由叠加原理知,y
*
(x)=xe
-x
是它的特解,求导得
y
*
’(x) =e
-x
(1一x), y
*
’’(x)=e
-x
(x一2).
代入方程(*)得
e
-x
(x一2)+4e
-x
(1一x)+4xe
-x
=f(x)
=> f(x)=(x+2)e
-x
=>所求方程为y’’+4y’+4y=(x+2)e
-x
.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/lAVRFFFM
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考研数学一
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