2. 考研
  3. 已知y1*(x)=xe-x+e-2x，y2*(x)=xe-x+xe-2x，y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+qy=f(x)的三个解，则这个方程是______．

已知y1*(x)=xe-x+e-2x，y2*(x)=xe-x+xe-2x，y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+qy=f(x)的三个解，则这个方程是______．

admin2017-11-23  22
问题 已知y1*(x)=xe-x+e-2x，y2*(x)=xe-x+xe-2x，y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+py’+qy=f(x)的三个解，则这个方程是______．
选项
答案y’’+4y’+4y=(x+2)e-x．
解析 (Ⅰ)由线性方程解的叠加原理=>
    y1(x)=y3*(x)一y2*(x)=e-2x，y2(x)=y3*(x)一y1*(x)  =xe-2x
    均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是该齐次方程的特征根是二重特征根λ=
    一2，相应的特征方程为
    (λ+2)2=0，即λ2+4λ+4=0．
    原方程为 y’’+4y’+4y=f(x)．    (*)
    又由叠加原理知，y*(x)=xe-x是它的特解，求导得
    y*’(x)  =e-x(1一x)，    y*’’(x)=e-x(x一2)．
    代入方程(*)得
    e-x(x一2)+4e-x(1一x)+4xe-x=f(x)
    =>    f(x)=(x+2)e-x
    =>所求方程为y’’+4y’+4y=(x+2)e-x．
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考研数学一

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