设A,B均为n阶矩阵,A可逆,且A—B,则下列命题中 ①AB~BA; ②A2~B2; ③A2~BT; ④A—1~B—1。 正确的个数为( )

admin2017-12-29  31

问题 设A,B均为n阶矩阵,A可逆,且A—B,则下列命题中
①AB~BA;
②A2~B2
③A2~BT
④A—1~B—1
正确的个数为(     )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析 因A—B,可知存在可逆矩阵P,使得P—1AP=B,于是
P—1A2P=B2,PTAT(PT—1=BT,P—1A—1P=B—1
故    A2~B2,AT~BT,A—1B—1
又由于A可逆,可知A—1(AB)A=BA,即AB~BA。故正确的命题有四个,所以选D。
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